Odchylky dvou rovin

Z Kapitoly 5.3 víme, že v prostoru mohou dvě roviny být buď totožné, rovnoběžné nebo různoběžné.

Odchylka dvou rovin je rovna odchylce průsečnic p, q těchto rovin s třetí rovinou, která je k oběma rovinám kolmá.

Odchylku dvou různoběžných rovin můžeme zjištit tak, že zvolíme bod A na jejich průsečnici p a vedeme jím ke každé z rovin kolmici k průsečnici p. Odchylka těchto kolmic je hledaná odchylka rovin.

Jsou li roviny rovnoběžné, pak je jejich odchylka 0°.

Je-li φ odchylka rovin α a β, zapisujeme φ = |αβ|, φ <0°,90°>.

Jsou li roviny α a β na sebe kolmé, αβ, je |αβ| = 90°.

Jsou li roviny α a α´ a také β a β´ rovnoběžné, pak |α´β´| = |αβ|.

Kolmost dvou rovin

Dvě roviny jsou k sobě kolmé, jestliže je jejich odchylka rovna 90°.

Dvě roviny jsou k sobě kolmé, obsahuje-li jedna z nich přímku, která je kolmá k druhé rovině.

Uvedeme dva způsoby, jak určit odchylku dvou různoběžných rovin α a β.

1. způsob

Sestrojíme průsečnici p rovin α a β.
Sestrojíme rovinu γ kolmou na p. Z kritéria kolmosti dvou rovin je jasné, že je tato rovina kolmá na roviny α a β.
Sestrojíme průsečnici a rovin α a γ a průsečnici b rovin β a γ.
Odchylka φ přímek a, b je odchylkou rovin α a β.

2. způsob

Libovolným bodem M vedeme kolmici n k rovině α.
Stejným bodem M vedeme kolmici m k rovině β.
Odchylka φ přímek n, m je odchylkou rovin α a β.

Pro libovolné přímky p, q a libovolné roviny α, β platí:

Je li pα a qα, je p || q.
Je li pα a q || p, je qα.
Je li αp a βp, je α || β.
Je li pα a α || β, je pβ.

Dále platí

Jestliže α || β, pak |pα| = |pβ|
Jestliže p || q, pak |pα| = |qα|.
Jestliže α || β a současně p || q, pak je |pα| =|pβ| =|qα| =|qβ|.

Úlohy

1. Máme dánu krychli ABCDEFGH. Určete odchylku rovin BCD a FGH.

Rovina BCD je rovinou dolní podstavy, rovina FGH rovinou horní podstavy krychle. Roviny jsou rovnoběžné, jejich odchylka je proto 0°.

Skryj výsledek

Zobraz výsledek

2. Máme dánu krychli ABCDEFGH. Určete odchylku rovin ABF a EGH.

Rovinz jsou různoběžné. Na průsečnici daných rovin, přímce EF, zvolíme bod, např. vrchol E. Tímto bodem, podle druhého způsobu, vedeme ke každé rovině přímku kolmou k průsečnici. K rovině ABF vedeme přímku AE, k rovině EGH přímku EH. Odchylka zadaných rovin se rovná odchylce přímek AE a EH, tyto přímky jsou k sobě kolmé. Odchylka zadaných rovin je 90°.

Skryj výsledek

Zobraz výsledek

3. Máme dánu krychli ABCDEFGH. Určete odchylku rovin ACG a BDH.

Roviny jsou různoběžné. Průsečnicí rovin ACG a BDH je přímka S_ABCDS_EFGH. K této přímce povedeme k oběma rovinám kolmice. K rovině ACG přímku AC a k rovině BDH přímku BD. Odchylka zadaných rovin je rovna odchylce přímek AC a BD, a ta je 90°.

Skryj výsledek

Zobraz výsledek

4. Máme dánu krychli ABCDEFGH. Určete odchylku rovin ACG a BCF.

Roviny ACG a BCF jsou různoběžné, jejich průsečnicí je přímka CG. Na přímce CG si zvolíme bod G a vedeme jím kolmice k zadaným rovinám. Odchylka těchto přímek je 45°. Odchylka roviny ACG a BCF je 45°.

Skryj výsledek

Zobraz výsledek

5. Máme dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. Určete odchylku rovin ACV a roviny podstavy jehlanu.

Na řešení příkladu použijeme 2. způsob řešení. Zvolíme si libovolný bod, jímž vedeme kolmice k oběma rovinám, například střed podstavy. K rovině ACV vedeme kolmici BD, k rovině ABC kolmici VS_ABCD. Odchylka zadaných rovin se rovná odchylce získaných přímek, ta je 90°.

Skryj výsledek

Zobraz výsledek

6. Máme dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. Určete odchylku rovin ACV a BDV.

Příklad vyřešíme pomocí 1. způsobu. Sestrojíme průsečnici rovin, přímku VS_ABCD. Sestrojíme rovinu komou na tuto přímku, v našem příkladě rovinu podstavy jehlanu. Sestrojíme průsečnice zadaných rovin s rovinou podstavy, tedy přímky AC a BD. Odchylka zadaných rovin se rovná odchylce těchto přímek. Ta je 90°.

Skryj výsledek

Zobraz výsledek

7. Je dán pravidelný pětiboký hranol ABCDEFGHIJ. Určete odchylku rovin CDI a BEG.

K oběma rovinám povedeme daným bodem, např. vrcholem F, kolmice. Z obrázku vidíme, že kolmice jsou totožné. Odchylka přímek je rovna 0°, stejně jako odchylka zadaných rovin. Roviny jsou rovnoběžné ( Kapitola 5.3).

Skryj výsledek

Zobraz výsledek

8. Je dán pravidelný pětiboký hranol ABCDEFGHIJ. Určete odchylku rovin AEJ a DIJ.

Zadané roviny jsou různoběžné s průsečnicí EJ. Podle prvního způsobu vedeme k přímce EJ libovolným bodem rovinu kolmou, takovou rovinou je například rovina horní podstavy FGH. Průsečnicemi roviny FGH se zadanými rovinami AEJ a DIJ jsou přímky FJ a IJ. Tyto přímky svírají úhel o velikosti vnitřního úhlu pětiúhelníku, ten víme, že je 108°. Odchylka zadaných roviny je proto rovna 180° - 108° = 72° (φ

<0°,90°>).

Skryj výsledek

Zobraz výsledek

9. Je dán pravidelný šestiboký jehlan ABCDEFV. Délka jeho podstavných hran je a, výška je 3/2a. Učete odchylku rovin ABC a ACV.

Skryj výsledek

Zobraz výsledek

Složitější příklady k této látce jsou v Kapitole 10 (příklady 7-9).